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世界熱推薦:【原】來解題吧 | 托勒密、斯圖爾特、暴力解題一起來

2023-06-12 10:54:47    出處:個人圖書館-黃河清

題目:等腰梯形ABCD中,AD平行BC,且BC

解法1:托勒密定理

①輔助線:作等腰梯形ABCD的對稱軸l;作P關于直線l的對稱點P";連接PP"、AP"、BP"、CP"、DP’;

②則AP"=DP=4,BP"=CP=3,CP"=BP=2,DP"=AP=1;


【資料圖】

③應用托勒密定理:定理證明 | 托勒密定理

在四邊形APP"D中:PP"×AD+AP×DP"=AP"×DP

所以PP"×AD+1×1=4×4

所以PP"×AD=15 (1)

在四邊形BPP"C中:PP"×BC+BP×CP"=BP"×CP

所以PP"×BC+2×2=3×3

所以PP"×BC=5 (2)

由(2)÷(1)得:BC:AD=1:3

解法2:斯圖瓦特定理

①輔助線:延長AB、DC相交于點E,連接PE;

②應用斯圖爾特定理:

在△APE中:

a×b×(a+b)+4×(a+b)=1×a+s2×b (1)

在△DPE中:

a×b×(a+b)+9×(a+b)=16×a+s2×b (2)

由(2)-(1)得:b=2a,BC:AD=BE:AE=1:3

補充:斯圖爾特定理證明

解法3:建系暴力解題

①輔助線:構造平面直角坐標系如圖所示,設點的坐標如圖所示;

②用兩點間的距離公式:

由PA2-PD2得:4ac=-15

由PB2-PC2得:4bc=-5

所以a:b=1:3,BC:AD=1:3

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