hello大家好,我是城鄉經濟網小晟來為大家解答以上問題,數學立體幾何三棱錐外接球問題,一招解決高考立體幾何外接球問題很多人還不知道,現在讓我們一起來看看吧!
高考立體幾何的小題里,外接球的問題被很多學生認為是一個難點。今天這節課我們就來把這類問題一次性研究清楚。你會發現,原來“難點”并不難,很可能只是自己在關鍵點的把握上始終似是而非,才一直為難下去。
(資料圖片)
題目說“一招解決”,不夸張,真的就是一招,這招就是高中課本中的那個定理:
球的任一截面圓心和球心的連線垂直于該截面。反之,球心在球的任一截面上的射影是該截面的圓心。
這個有點類似于初中學的平面幾何“垂徑定理”的定理,可以衍生出很多的結論。這些結論不需要記住,而是要理解。
對于小圓(球的不過球心的截面)和它的任意一個內接三角形,內接三角形的外心即小圓的圓心。
所以我們知道,球心必然在過內接三角形外心、垂直于內接三角形所在平面的直線上。也就知道,對于一個球內接幾何體,它的各個面過外心的垂線必然交于一點,這點就是球心。
例1. 已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上,△ABC 是邊長為1的正三角形,SC為球O的直徑,且SC = 2,則此棱錐的體積為 ___ .
分析:?SC為球O的直徑,O是SC的中點,由點O在過△ABC外心且垂直于底面ABC的直線上,知點S到底面ABC的距離等于點O到底面ABC的距離的2倍,且后者很容易就求到。
具體解決數學問題時,有如下方法:
一是球心在一個面過外心(這里不限于指三角形外心了,而是拓展為到平面內各頂點距離相等的點)的垂線上。作出這條垂線,在其上設出球心,根據球心到各頂點距離相等,列方程求解。例如我們常見的棱錐外接球問題。
例2. 高為2^(1/2)/4的四棱錐S-ABCD的底面是邊長為1的正方形,點S、A、B、C、 D均在半徑為1的同一個球面上,則底面ABCD的中心與頂點S之間的距離為 ___ .
如果是直棱柱,其實問題一樣,只不過是變成了球心在上下兩平行底面的過外心的共同垂線上。(圓柱的情況下,外心就成底面圓心了。)
例3. 一個六棱柱的底面是正六邊形,其側棱垂直于底面,已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上,且該六棱柱的體積為9/8,底面周長為3,則這個球的體積為 ___ .
特別地,當直棱柱的上下底面是正方形,問題就變成了我們熟悉的長方體外接球問題。此時體對角線為外接球直徑,d=2R=(a b c)^(1/2)。
當一個三棱錐的某頂點處三條棱兩兩垂直(“墻角”型)時,也可以“補形”成長方體來處理。甚至更廣泛的條件下,也可以構造長方體來處理。
例4. 已知點A、B、C、D在同一個球面上,AB垂直于平面BCD,BC垂直于DC,若AB=6,AC=2·(13)^(1/2),AD=8,則B、C兩點間的球面距離是 ___ .
分析:可以構造一個以A、B、C、D為頂點,AD為體對角線的長方體。
二是球心直接由兩個面過外心的垂線的交點得出。
還是上面給出的例4.
分析:球心是過直角三角形ABC外心(即AC中點)和直角三角形BCD外心(即BD中點)的垂線的交點。
還是第一節課說的那個道理:“萬變不離其宗”。接住高考數學里的外接球問題,看起來很多招,“直接法”、“構造法”……其實本是一招。
本文就為大家講解到這里,希望對大家有所幫助。
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